Решим уравнение
\((5x^2 - 4)^2 + 6(5x^2 - 4) - 7 = 0 \qquad (1)\)
путём введения новой переменной.
Обозначим \(5x^2 - 4\) черезе \(y\):
\(5x^2 - 4 = y.\)
Тогда уравнение (1) приводится к квадратному уравнению с неизвестной \(y\):
\(y^2 + 6y - 7 = 0. \qquad (2)\)
Уравнение (2) решим методом дискриминанта.
Общий вид квадратного уравнения:
\(ay^2+by+c=0.\)
Для уравнения (2): \(a=1, b=6, c=-7\).
Вычислим дискриминант:
\(D=b^2-4ac=6^2-4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 > 0.\)
Так как \(D>0\), поэтому уравнение (2) имеет два квадратных уравнения, которые вычисляются по следующей формуле:
\(y_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2\cdot 1} = \frac{-6 \pm 8}{2} = -3 \pm 4.\)
То есть,
\(y_1=-3-4=-7\).
\(y_2=-3+4=4-3=1\).
Отсюда
\(5x^2 - 4 = -7\)
и
\(5x^2 - 4 = 1\).
Для уравнения \(5x^2 - 4 = -7\) имеем:
\(5x^2 = -7 + 4\)
\(5x^2 = -(7 - 4)\)
\(5x^2 = -3\)
\(x^2 = -\frac{3}{5}.\)
Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным числом, поэтому уравнение \(5x^2 - 4 = -7\) не имеет действительных корней.
Для уравнения \(5x^2 - 4 = 1\) имеем:
\(5x^2 = 1 + 4\)
\(5x^2 = 5\)
\(x^2 = 5 : 5\)
\(x^2 = 1\)
\(x_1 = -1, \quad x_2 = 1.\)
Таким образом, уравнение (1) имеет два решения:
\[x_1 = -1, \quad x_2 = 1.\]
Проверка.
\(1. \quad (5\cdot (-1)^2 - 4)^2 + 6\cdot (5\cdot (-1)^2 - 4) - 7 = (5 - 4)^2 + 6\cdot (5 - 4) - 7 = 1 + 6 - 7 = 0.\)
\(2. \quad (5\cdot 1^2 - 4)^2 + 6\cdot (5\cdot 1^2 - 4) - 7 = (5 - 4)^2 + 6\cdot (5 - 4) - 7 = 1 + 6 - 7 = 0.\)
